Расчеты на прочность при постоянных и переменных напряжениях по методам предельных состояний и допускаемых напряжений. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени Пример разрушения вала электродвигателя Ø150мм

Расчеты по нормальным и касательным напряжениям прово­дятся аналогично.

Расчетные коэффициенты выбираются по специальным табли­цам.

При расчетах определяют запасы прочности по нормальным и касательным напряжениям.

Запас прочности по нормальным напряжениям:

Запас прочности по касательным напряжениям:

где σ а - амплитуда цикла нормальных напряжений; τ а - ампли­туда цикла касательных напряжений.

Полученные запасы прочности сравнивают с допускаемыми. Представленный расчет является проверочным и проводится при конструировании детали.

Контрольные вопросы и задания

1. Изобразите графики симметричного и отнулевого циклов из­менения напряжений при повторно-переменных напряжениях.

2. Перечислите характеристики циклов, покажите на графиках среднее напряжение и амплитуду цикла. Что характеризует коэф­фициент асимметрии цикла?

3. Опишите характер усталостных разрушений.

4. Почему прочность при повторно-переменных напряжениях
ниже, чем при постоянных (статических)?

5. Что называют пределом выносливости? Как строится кривая усталости?

6. Перечислите факторы, влияющие на сопротивление устало­сти.

306 Практическое занятие 6

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО РАЗДЕЛУ

«Сопротивление материалов»

Практическое занятие 6

Тема 2.2. Расчеты на прочность и жесткость

При растяжении и сжатии

Знать порядок расчетов на прочность и жесткость и расчет­ные формулы.

Уметь проводить проектировочные и проверочные расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Необходимые формулы

Нормальное напряжение

где N - продольная сила; А -площадь поперечного сечения.

Удлинение (укорочение) бруса

Е - модуль упругости; I - начальная длина стержня.

Допускаемое напряжение

[ s ] - допускаемый запас прочности.

Условие прочности при растяжении и сжатии:

Примеры расчетов на прочность и жесткость

Пример 1. Груз закреплен на стержнях и находится в равно­весии (рис. П6.1). Материал стержней - сталь, допускаемое напря­жение 160 МПа. Вес груза 100 кН. Длина стержней: первого - 2 м, второго - 1м. Определить размеры поперечного сечения и удлине­ние стержней. Форма поперечного сечения - круг.

Практическое занятие 6 307

Решение

1. Определить нагрузку на стержни. Рассмотрим равновесие
точки В, определим реакции стержней. По пятой аксиоме статистики (закону действия и противодействия) реакция стержня численно
равна нагрузке на стержень.

Наносим реакции связей, действующих в точке В. Освобождаем точку В от связей (рис. П6.1).

Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей коорди­нат совпала с неизвестной силой (рис. П6.1б).

Составим систему уравнений равновесия для точки В:

Решаем систему уравнений и определяем реакции стержней.

R 1 = R 2 cos60°; R 1= 115,5 ∙ 0,5 = 57,4кН.

Направление реакций выбрано верно. Оба стержня сжаты. На­грузки на стержни: F 1= 57,4кН; F 2 = 115, 5 кН.

2. Определяем потребную площадь поперечного сечения стерж­ней из условий прочности.

Условие прочности на сжатие: σ = N / A ≤ [σ] , откуда

Стержень 1 (N 1 = F 1):

308 Практическое занятие 6

Полученные диаметры округляем: d 1 = 25мм, d 2= 32 мм.

3. Определяем удлинение стержней Δ l = ----- .

Укорочение стержня 1:

Укорочение стержня 2:

Пример 2. Однородная жесткая плита с силой тяжести 10 кН, нагруженная силой F = 4,5 кН и моментом т = ЗкН∙м, оперта в точке А и подвешена на стержне ВС (рис. П6.2). Подобрать сечение стержня в виде швеллера и определить его удлинение, если длина стержня 1м, материал - сталь, предел текучести 570 МПа, запас прочности для материала 1,5.

Решение

1. Определить усилие в стержне под действием внешних сил. Система находится в равновесии, можно использовать уравне­ние равновесия для плиты: ∑т А = 0.

Rb - реакция стержня, реакции шарнира А не рассматриваем.

Практическое занятие 6 309

По третьему закону динамики ре­акция в стержне равна силе, действу­ющей от стержня на плиту. Усилие в стержне равно 14 кН.

2. По условию прочности определяем потребную величину площади попе­
речного сечения: о = N / A ^ [а], откуда А > N /[ a ].

Допускаемое напряжение для материала стержня

Следовательно,

3. Подбираем сечение стержня по ГОСТ (Приложение 1).
Минимальная площадь швеллера 6,16 см 2 (№ 5; ГОСТ 8240-89).
Целесообразнее использовать равнополочный уголок № 2

(d = Змм),- площадь поперечного сечения которого 1,13см 2 (ГОСТ 8509-86).

4. Определить удлинение стержня:

На практическом занятии выполняется расчетно-графическая работа и проводится тестовый опрос.

Расчетно-графическая работа

Задание 1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1, F 2 , F 3- Площади поперечных сечений А 1и А 2 .

310 Практическое занятие 6

Задание 2. Балка АВ, на которую действуют указанные на­грузки, удерживается в равновесии тягой ВС. Определить разме­ры поперечного сечения тяги для двух случаев: 1) сечение - круг; 2) сечение - уголок равнополочный по ГОСТ 8509-86. Принять [σ] = 160 МПа. Собственный вес конструкции не учитывать.

Практическое занятие 6 311

При защите работы ответить на вопросы тестового задания.

312 Практическое занятие 6

Тема 2.2. Растяжение и сжатие.

Расчеты на прочность и жесткость

Практическое занятие 7 313

Практическое занятие 7

Переменные напряжения приводят к внезапному разрушению деталей, хотя величина этих напряжений существенно ниже предела текучести. Это явление называется усталостью .

Усталостное разрушение начинается с накопления повреждений и образования на поверхности микротрещины. Развитие трещины происходит обычно в направлении, перпендикулярном линии действия наибольших нормальных напряжений. Когда прочность оставшегося сечения становится недостаточной, происходит внезапное разрушение.

Поверхность излома имеет две характерные зоны: зону развития трещины с гладкой поверхностью и зону внезапного разрушения с крупнозернистой поверхностью хрупкого излома.

Способность материала воспринимать многократное действие переменных напряжений без разрушения называется выносливостью или циклической прочностью .

Предел выносливости - σ -1 – наибольшее переменное напряжение которое может выдержать образец бесконечное число циклов без разрушения.

σ -1 – определяется при базовом числе циклов. Для сталей N 0 = 10 7 циклов. Для цветных металлов и закаленных сталей N 0 = 10 8 .

Ориентировочно величину предела выносливости для стали можно определить по эмпирической зависимости:

σ -1 = 0,43·σ в

Расчет на выносливость выполняют после статического расчета, определения размеров и конструктивного оформления детали. Цель расчета – определение фактического коэффициента запаса прочности и сравнение его с допускаемым.

Условие прочности на выносливость:

При сложном напряженном состоянии коэффициент запаса прочности (суммарный) вычисляют по формуле:

где, коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям:

коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям:

где ψ σ , ψ τ – коэффициенты чувствительности к асимметрии цикла, дается в справочниках в зависимости от предела прочности материала.

При расчете валов [S] = 1,5 (2,5) для обеспечения прочности (жесткости).

Пример разрушения вала электродвигателя Ø150мм.

в

Большинство деталей машин в рабочих условиях испытывает переменные напряжения, циклически изменяющиеся во времени. Анализ поломок показывает, что материалы деталей машин, длительно работающих под действием переменных нагрузок, могут разрушаться при напряжениях, более низких, чем предел прочности и предел текучести.

Разрушение материала, вызванное многократным действием переменных нагрузок, называется разрушением от усталости или усталостью материала.

Усталостное разрушение обусловлено появлением микротрещин в материале, неоднородностью строения материалов, наличием следов механической обработки и повреждений поверхности, результатом концентрации напряжений.

Выносливостью называется способность материалов сопротивляться разрушению при действии переменных напряжений.

Периодические законы изменения переменных напряжений могут быть различными, но все их можно представить в виде суммы синусоид или косинусоид (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Циклы переменных напряжений: а - асимметричный; б - пульсирующий; в - симметричный

Число циклов напряжений в секунду называется частотой нагружения. Циклы напряжений могут быть знакопостоянными (рис. 5.7, а, б) или знакопеременными (рис. 5.7, в).

Цикл переменных напряжений характеризуется: максимальным напряжением а тах, минимальным напряжением a min , средним напряжением а т = (а тах + a min)/2, амплотудой цикла s fl = (а тах - a min)/2, коэффициентом асимметрии цикла r G = a min /а тах.

При симметричном цикле нагружения a max = - ci min ; а т = 0; г с = -1.

При пульсирующем цикле напряжений a min = 0 и =0.

Максимальное значение периодически меняющегося напряжения, при котором материал может сопротивляться разрушению неограниченно долго, называется пределом выносливости или пределом усталости.

Для определения предела выносливости осуществляются испытания образцов на специальных машинах. Наиболее распространены испытания на изгиб при симметричном цикле нагружения. Испытания на выносливость при растяжении-сжатии и кручении проводятся реже, поскольку они требуют более сложного оборудования, чем в случае изгиба.

Для испытания на выносливость отбирают не менее 10 совершенно одинаковых образцов. Испытания проводятся следующим образом. Первый образец устанавливается на машину и нагружается симметричным циклом с амплитудой напряжения (0,5-0,6)ст й (о в - предел прочности материала). В момент разрушения образца по счетчику машины фиксируется число циклов N. Второй образец испытывают при меньшем напряжении, при этом разрушение происходит при большем числе циклов. Затем испытывают следующие образцы, постепенно уменьшая напряжение; они разрушаются при большем числе циклов. По полученным данным строится кривая выносливости (рис. 5.8). На кривой выносливости имеется участок, стремящийся к горизонтальной асимптоте. Это означает, что при определенном напряжении а Л образец, не разрушаясь, может выдержать бесконечно большое число циклов. Ордината этой асимптоты дает предел выносливости. Так, для стали число циклов N= 10 7 , для цветных металлов - N= 10 8 .

На основании большого числа испытаний установлены приближенные зависимости между пределом выносливости при изгибе и пределами выносливости для других видов деформации

где ст_ |р - предел выносливости при симметричном цикле растяжения-сжатия; t_j - предел выносливости при кручении в условиях симметричного цикла.

Напряжение при изгибе

где W = / / у тах - момент сопротивления стержня при изгибе. Напряжение при кручении

где Т - крутящий момент; W p - полярный момент сопротивления при кручении.

В настоящее время пределы выносливости для многих материалов определены и приводятся в справочниках.

Экспериментальные исследования показали, что в зонах резких изменений в форме элементов конструкций (около отверстий, выточек, канавок и т.п.), а также в зонах контакта возникает концентрация напряжений - повышенные напряжения. Причина, вызывающая концентрацию напряжений (отверстие, выточка и т.д.), называется концентратором напряжений.

Пусть стальная полоса растягивается силой Р (рис. 5.9). В поперечном сечении /’полосы действует продольная сила N= Р. Номинальное напряжение, т.е. вычисленное в предположении, что концентрация напряжений отсутствует, равно а = Р/ F.

Рис. 5.9.

Концентрация напряжений с удалением от концентратора очень быстро падает, приближаясь к номинальному напряжению.

Качественно концентрация напряжений для различных материалов определяется эффективным коэффициентом концентрации напряжений

где о _ 1к, т_ и - пределы выносливости, определяемые по номинальным напряжениям для образцов, имеющих концентрацию напряжений и такие же размеры поперечного сечения, как и гладкий образец.

Числовые значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений определяют на основе усталостных испытаний образцов. Для типовых и наиболее часто встречающихся форм концентраторов напряжений и основных конструкционных материалов получены графики и таблицы, которые приводятся в справочниках.

Опытным путем установлено, что предел выносливости зависит от абсолютных размеров поперечного сечения образца: с увеличением сечения предел выносливости уменьшается. Эта закономерность получила название масштабного фактора и объясняется тем, что с увеличением объема материала возрастает вероятность наличия в нем неоднородностей строения (шлаковые и газовые включения и т.п.), вызывающих появление очагов концентрации напряжения.

Влияние абсолютных размеров детали учитывается введением в расчетные формулы коэффициента г, равного отношению предела выносливости o_ ld данного образца заданного диаметра d к пределу выносливости a_j геометрически подобного лабораторного образца (обычно d = l мм):

Так, для стали принимают е а = е т = е (обычно г = 0,565-1,0).

На предел выносливости влияют чистота и состояние поверхности детали: с уменьшением чистоты поверхности предел выносливости понижается, так как вблизи ее рисок, царапин на поверхности детали наблюдается концентрация напряжений.

Коэффициентом качества поверхности называется отношение предела выносливости ст_, образца с заданным состоянием поверхности к пределу выносливости ст_, образца с полированной поверхностью:

Обычно (3 = 0,25 -1,0, но при поверхностном упрочнении деталей специальными методами (закалка токами высокой частоты, цементация и т.п.) может быть и больше единицы.

Значения коэффициентов определяют по таблицам из справочников по расчетам на прочность.

Расчеты на прочность при переменных напряжениях в большинстве случаев выполняются как проверочные. Результатом расчета являются фактические коэффициенты запаса прочности п, которые сравнивают с требуемыми (допускаемыми) для данной конструкции коэффициентами запаса прочности [п], причем должно выполняться условие л > [я J Обычно для стальных деталей [л] = 1,4 - 3 и более в зависимости от вида и назначения детали.

При симметричном цикле изменения напряжений коэффициент запаса прочности:

0 для растяжения (сжатия)

0 для кручения

0 для изгиба

где а их - номинальные значения максимальных нормальных и касательных напряжений; К СУ,К Т - эффективные коэффициенты концентрации напряжений.

При работе деталей в условиях асимметричного цикла коэффициенты запаса прочности п а по нормальным и касательным п х напряжениям определяют по формулам Серенсена-Кинасошвили

где |/ ст, |/ т - коэффициенты приведения асимметричного цикла к равноопасному симметричному; т, х т - средние напряжения; ст й, х а - амплитуды цикла.

В случае сочетания основных деформаций (изгиба и кручения, кручения и растяжения или сжатия) общий коэффициент запаса прочности определяется следующим образом:

Полученные коэффициенты запаса прочности следует сопоставлять с их допустимыми значениями, которые принимают из норм прочности или справочных данных. Если выполняется условие п>п то элемент конструкции признают надежным.

Расчет на прочность при переменных напряжениях Расчет элементов строительных конструкций на выносливость сводится к проверке неравенства вида (19.3) Условие прочности при напряжениях, переменных во времени где (Тщад - максимальное нормальное напряжение; Rv - расчетное сопротивление усталости, зависящее от временного сопротивления материала; а - коэффициент, учитывающий число циклов нагружений; yv - коэффициент, зависящий от вида напряженного состояния и коэффициента асимметрии цикла. Например, для стальных конструкций коэффициент yv определяется по табл. 19.1. Таблица 19.1 Значение коэффициента yv для стальных конструкций "max Р Vv Растяжение Расчетное сопротивление усталости, а также коэффициент а учитывают качество обработки поверхности рассчитываемого элемента, его конструктивное исполнение, наличие концентраторов напряжений. Для частных видов конструкций соотношение (19.3) может принимать несколько отличную форму. Так, при расчете стальных конструкций мостов используется следующее неравенство: (19.4) где R - расчетное сопротивление при растяжении, сжатии и изгибе по пределу текучести материала; т - коэффициент условий работы; _ 1 а, 6 - коэффициенты, учитывающие марку стали и нестационарность нагружения; р - коэффициент асимметрии цикла переменных напряжений; (i - эффективный коэффициент концентрации напряжений. Коэффициент yv, определяемый выражением (19.5), описывает вид диаграммы предельных амплитуд с учетом концентрации напряжений, качества материала и обработки его поверхности, режима нагружения и других факторов. Пример 19.2. Раскос сквозного стального пролетного строения железнодорожного моста при прохождении поезда испытывает воздействие переменного осевого усилия. Наибольшее растягивающее усилие равно Nmnn= 1200 кН, наименьшее (сжимающее) усилие Wmr-=200 кН. Расчетное сопротивление R низколегированной стали марки 15XCHD равно 295 МПа. Коэффициент условий работы т = 0,9. Поперечное-сечение составное (рис. 19.20) и его площадь равна ЛпсШ, = 75 см. Рис. 19.20. Конструкция раскоса стального пролетного строения железнодорожного моста Решение. Коэффициент асимметрии цикла определяется так: IJVmml 1 Л"тах 6 В соответствии со СНиП 2.05.03-84 коэффициент Р принимается равным 1,5; параметры а = 0,72 и 5 = 0,24. Тогда Найдем максимальное нормальное напряжение: N^ 1200 103 ---=--7 = 160 МПа. Лпепо 75 10"4 Правая часть неравенства (19.4) принимает значение yvmR= 0,85 0,9 295 = 226,4 МПа>160 МПа. Следовательно, условие усталостной прочности раскоса выполняет ся. § 19.9. Понятие о малоцикловой усталости При многоцикловом усталостном разрушении, рассмотренном в предыдущих параграфах, материал деформируется упруго. Разрушение начинается в местах концентрации напряжений как результат развития зародившейся трещины и носит хрупкий характер (без появления Л заметных пластических деформаций). Другим видом усталости является малоцикловая усталость, под кото-Малоцикловая рой понимается разрушение при повторных упругопла-усталосгь стических деформациях; она отличается от многоцикло усталостного разрушения наличием макроскопической пластической деформации в зоне излома. Строгой границы между мног цикловом и малоцикловой устало-стями мровеетч нельз В СНиЛ 11-23- -81 отмечается, чти проверку стальных конструкций на малоцикловую про- Ответьте иа воп-чность следует выполнять при числе циклов, меньшем рос № 19 10 Ю\ Рассмотрим схематизированную диаграмму реформирования материала, показанную на рис. 19.21, а Рядом (рис. 19.21, 6) приведен график изменения напряжений во времени. При первом нагружении вдоль кривой ОАВ точка, изображающая состояние материала, движется вдоль диаграммы деформирования по линии О В Затем напряжения уменьшаются и та же точка движется по гинии BBiAi По достижении напряжением минимального значения начинается его возрастание и деформирование совершается Далее но замкнутой линии А,АВВ,. Размах деформаций за один цикл равен ^ "max £min> а размах пластических деформаций ^плтая 1L" 11 максимальная и минимальная пласти- I. ie e1Lir-д £ц ческие деформации ари циклическом изменении напряжений. Характер разрушения при малоциклозой усталости зависит от способности материала к накоплению пластически формаций при циклическом деформировании. Материалы назызаю*ся цикл 1чески стабильными, если остаточная деформация не меняется во зсех цикла*. Рассмотренный выше пример иллюстрирует особенности деформирования таких материалов. Для циклически разунрочняюшихся материалов хара-ктеоны увеличение остаточных Деформаций и рост суммарной пластической деформации. Исключим из этих уравнений перемещения и и v, для чего дважды дифференцируем первую строку по у, вторую - по х, третью - по х и у. Складывая верхние две строки и вычитая нижнюю, получим уравнение (20.6) Уравнение совместности деформаций Оно называется уравнением совместности деформаций, так как дает необходимую связь между деформациями, существующую при произвольных непрерывных функциях перемещений и, v (которые мы исключили). Если тело до деформации мысленно разбить на бесконечно малые «кирпичики», сообщить им деформации ех, еу и уху и попытаться сложить обратно в целое деформированное тело, то окажутся возможными два случая. В первом (рис. 20.5, а) все элементы плотно прилягут друг к другу. Такие деформации совместны, и им отвечает непрерывное поле перемещений. Во втором случае (рис. 20.5, б) между элементами возникают бесконечно малые разрывы и таким деформациям не отвечает какое-либо непрерывное поле перемещений. ц Поле деформаций, которому отвечает непрерывное поле перемещений, называют совместными деформациями. Деформации сов-В противном случае деформации называют несовместны- местные н несов-ми. местные Уравнения (20.3), (20.5) и (20.7) вместе составляют необходимые восемь уравнений, решение которых позволяет найти восемь неизвестных функций рассматриваемой плоской задачи. § 20.3. Определение напряжений по найденным из эксперимента перемещениям Ниже описано, как экспериментально получаются семейства интерференционных полос, представляющих изолинии какого-либо фактора, т. е. геометрическое место точек, в которых этот фактор имеет постоянное значение. Так, в методе муаров и голографичсской интерферометрии могут быть получены изолинии перемещений v = const и и = const. На рис. 20.6 привечена схема семейсг ва изолиний v;=const при плоском напряженном состоянии пластины. Покажем, как, используя уравнения теории упругости, перейти от перемещений к напряжениям. Формулы (20.5) дают возможность вычислить деформации Рис. 20.6. Численное определение деформаций по экспериментально полученному семейству изолиний перемещений для вертикальной линии. Частную производную (dv/dx)j=tgojj вычислим как тангенс угла наклона секущей, проведенной через точки (i - 1) и (/+ 1). Поступая аналох ично и для производной по координате у, найдем Численное диффе- (20.10) реицирование в плоской задаче Аналогично поступают и с семейством изолиний и=const Наметив сетку линий, параллельных осям координат х и у, по формулам (20.9) и (20.10) строят поле деформаций, а затем поле напряжений в исследуемой модели. Так как узловые точки ортогональной сетки в общем случае не совпадают с точками пересечения с изолиниями, то для вычисления деформаций и напряжений в узлах применяют формулы интерполирования. Существуют устройства и соответствующие программы для персональных ЭВМ, позволяющие обработать сетку изолиний в автоматическом режиме. Далее рассмотрим эксперимент с изгибаемой пластиной, для которой получено семейство изолиний прогибов vv = const (рис. 20.7, а). В теории изгиба пластин по аналогии с гипотезой плоских сечений используется гипотеза прямой нормали, согласно которой линия т-и, переходя в положение т,-и, остается прямой (рис. 20.7, б). Тогда при малых прогибах (px-dw/dx, (py-dwjdy и перемещения в горизонтальной плоскости произвольной точки с координатой z будут dw v= -(pyz= -z -. By (20.11) Подставляя формулы (20.11) в (20.9), получим 8 2 и* V" 82w 8хду 82w yxy=-2z (20.12) - Z еу--г Напряжения хху, распределенные по толщине пластины h по линейному закону (рис. 20.7, в), могут быть вычислены при известных деформациях (20.12) по закону Гука (20.8). Для определения вторых производных от функции прогибов вначале получают по формулам интерполирования поле прогибов в узлах ортогональной сетки линий, фрагмент которой показан на рис. 20.8. Тогда производные в точке К можно вычислить по формулам численного дифференцирования:

Переменные напряжения в деталях машин различаются по виду циклов и характеру изменения цикла во времени. Циклом напряжений называют совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения при регулярном нагружении. На рис.4.2 показаны различные виды циклов переменных напряжений, характеризуемые следующими параметрами:

среднее напряжение цикла, выражающее постоянную (положительную или отрицательную) составляющую цикла напряжения:

амплитуда напряжений цикла, выражающая наибольшее положительное значение переменной составляющей цикла напряжений:

где σ m ах и σ min - максимальное и минимальное напряжения цикла, соответствующие наибольшему и наименьшему напряжениям цикла.

Отношение минимального напряжения цикла к максимальному называют коэффициентом асимметрии цикла напряжений:

Симметричным называется цикл, когда максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютному значению и противоположны по знаку. Симметричный цикл является знакопеременным и имеет следующие параметры: σ а = σ m ах = σ min ; σ т = 0; R = - 1. Наиболее распространенный пример симметричного цикла напряжений - изгиб вращающегося вала (изгиб при вращении). Пределы выносливости, соответствующие симметричному циклу, имеют индекс «-1» (σ -1 ; τ -1).

Асимметричным называется цикл, у которого максимальное и минимальное напряжения имеют разные абсолютные значения. Для асимметричного цикла напряжений σ max = σ m + σ a ; σ min = σ m - σ a ; R ≠ - 1 Асимметричные циклы напряжений относятся к знакопеременным, если напряжения изменяются по значению и по знаку. Цикл напряжений, изменяющихся только по абсолютному значению, называется знакопостоянным. Пределы выносливости, соответствующие асимметричному циклу, обозначаются индексом «R» (σ R ; τ R).

Характерным асимметричным циклом является отнулевой цикл напряжений, к которому относятся знакопостоянные циклы напряжений, изменяющиеся при растяжении от нуля до максимума (σ min = 0) или при сжатии - от нуля до минимума (σ max = 0). При растяжении отнулевой цикл напряжений характеризуется следующими параметрами: σ m =σ a = σ max /2; R = 0. Предел выносливости отнулевого цикла обозначается индексом «0» (σ 0 ; τ 0). Отнулевые циклы напряжений возникают в зубьях шестерен и цепных звездочек, которые в процессе работы нагружаются при входе в зацепление и полностью разгружаются при выходе из него.

Сопротивление усталости зависит не только от вида действующих циклов напряжений, но и от характера изменения напряжений во времени. При стационарном нагружении значения амплитуды и среднего напряжения цикла остаются неизменными во времени. Буровые машины и оборудование, как уже отмечалось, преимущественно работают при нестационарном нагружении.

Амплитуда и среднее напряжение циклов могут иметь ступенчатый либо непрерывный характер изменения (рис. 4.3).

Количественные характеристики сопротивляемости материала действию переменных напряжений определяют путем испытания на усталость 15-20 одинаковых образцов диаметром 7-10 мм, имеющих полированную поверхность. Испытания проводят при разных уровнях напряжений. По полученным результатам строят график кривой усталости (рис. 4.4,а). По оси ординат графика откладывают максимальное напряжение или амплитуду напряжений цикла, при которых испытывался данный образец, а по оси абсцисс - число циклов N перемен напряжений, которое образец выдержал до разрушения. Полученная кривая характеризует зависимость между напряжениями и циклической долговечностью одинаковых образцов при постоянных среднем напряжении цикла либо коэффициенте асимметрии цикла.

Для большинства сталей при испытаниях на воздухе кривая усталости, начиная с числа циклов N = 10 6 ÷10 7 , становится горизонтальной и образцы, выдержавшие указанное число циклов, не разрушаются при дальнейшем практически неограниченном увеличении числа циклов нагружения. Поэтому испытания сталей прекращают при достижении 10 млн. циклов, составляющих базу испытаний N б. Максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором еще не происходит усталостное разрушение до базы испытаний, называют пределом выносливости . Для надежной оценки предела выносливости число неразрушившихся образцов при данном уровне переменных напряжений должно быть не менее шести.

Наиболее простыми и поэтому более распространенными являются испытания на усталость при симметричном цикле напряжений (круговой изгиб).

Испытания на усталость при асимметричном цикле напряжений проводят на специальных испытательных машинах. Кривые усталости, построенные в логарифмических координатах

(рис. 4.4,б), представляют собой наклонную и горизонтальную прямые. Для расчетов на прочность левую наклонную часть кривой усталости представляют в виде

где σ - действующее напряжение; т - показатель наклона кривой усталости; N - число циклов напряжений, выдержанных до усталостного разрушения (циклическая долговечность); σ -1 - предел выносливости; N 0 - число циклов, соответствующее точке перелома кривой усталости, представляемой двумя прямыми линиями.

Величина N 0 в большинстве случаев колеблется в пределах 10 6 -3∙10 6 циклов. В расчетах на прочность при переменных напряжениях, когда отсутствуют данные усталостных испытаний, можно принять в среднем N=2∙10 6 циклов .

Показатель наклона кривой усталости

для деталей изменяется от 3 до 20, причем с ростом эффективного коэффициента концентрации напряжений замечена тенденция к снижению т . Приближенно можно принять

где с =12 - для сварных соединений; с = 12÷20- для деталей из углеродистых сталей; с = 20÷30 - для деталей из легированных сталей.

Таблица 4.4

Из уравнения кривой усталости определяется циклическая долговечность N при действии напряжений σ, превышающих предел усталости σ -1

Значения пределов выносливости, полученные в результате испытаний на усталость, даются в справочниках по машиностроительным материалам. Соотношения между пределами прочности и выносливости, установленные на основе статистических данных приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Вид нагружения	Стальные прокат и поковка	Стальное литье
	σ -1 = 0,47σ в	σ -1 = 0,38 σ в
Растяжение-сжатие	σ -1 p = 0,35σ в	σ -1 = 0,28 σ в
Кручение	τ -1 = 0,27 σ в	τ -1 = 0,22σ в

Предел выносливости деталей ниже предела выносливости стандартных лабораторных образцов, используемых при испытании машиностроительных материалов на усталость. Снижение предела выносливости обусловлено влиянием концентрации напряжений, а также абсолютных размеров поперечного сечения и состояния поверхности деталей. Значения предела выносливости деталей определяются путем натурных испытаний либо по справочным расчетно-экспериментальным данным, устанавливающим влияние указанных факторов на сопротивление деталей усталости.

Натурными испытаниями обычно пользуются для определения пределов выносливости широко распространенных стандартных изделий и отдельных наиболее ответственных узлов и деталей. Так, на основе натурных испытаний установлены пределы выносливости бурильных труб, втулочно-роликовых цепей буровых установок, талевых канатов, подшипников и некоторых других стандартных изделий, применяемых в буровых машинах и оборудовании. В связи со сложностью натурных испытаний на усталость в практических расчетах на прочность преимущественно пользуются расчетно-экспериментальными данными, на основе которых предел выносливости детали определяется из выражения

где σ -1д - предел выносливости детали; σ -1 - предел выносливости стандартных лабораторных образцов из материала детали; К - коэффициент снижения предела выносливости:

Здесь К σ - эффективный коэффициент концентрации напряжений; К F - коэффициент влияния шероховатости поверхности; К d - коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения: K υ - коэффициент влияния поверхностного упрочнения.

Значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений и коэффициентов влияния поверхностного упрочнения, полученные по расчетно-экспериментальным данным, приведены в табл. 4.1 и 4.2.

Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения определяется отношением предела выносливости гладких образцов диаметром d к пределу выносливости гладких лабораторных образцов диаметром 7-10 мм:

где σ -1 d - предел выносливости гладкого образца (детали) диаметром d; σ -1 - предел выносливости материала, определяемый на стандартных гладких образцах диаметром 7-10 мм.

Опытные данные показывают, что с увеличением поперечных размеров предел выносливости детали снижается. Это объясняется статистической теорией усталостных разрушений, согласно которой при увеличении размеров возрастает вероятность наличия в деталях внутренних дефектов в зонах повышенных напряжений - масштабный эффект. Проявлению масштабного эффекта способствуют ухудшение однородности материала, а также трудность контроля и обеспечения стабильности процессов изготовления деталей больших размеров. Масштабный эффект зависит главным образом от поперечных размеров и в меньшей мере от длины детали.

Влитых деталях и материалах, имеющих неметаллические включения, поры и другие внутренние и внешние дефекты, масштабный эффект проявляется больше. Легированные стали более чувствительны к внутренним и внешним дефектам, и поэтому для них влияние абсолютных размеров проявляется значительнее, чем для углеродистых сталей. В расчетах на прочность значения коэффициентов влияния абсолютных размеров поперечного сечения выбираются по графику (рис.4.5).

Шероховатость поверхности, окалины и коррозия существенно влияют на сопротивление усталости. На рис. 4.6 показан экспериментальный график, характеризующий изменение предела выносливости деталей при различном качестве обработки и состоянии поверхности. Коэффициент влияния шероховатости определяется отношением предела выносливости гладких образцов с поверхностью не грубее R a = 0,32 по ГОСТ 2789-73 к пределу выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности:

где σ -1 - предел выносливости тщательно полированных образцов; σ -1п - предел выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности.

Например, установлено, что при грубом шлифовании предел выносливости детали из стали с пределом прочности 1500 МПа оказывается таким же, как у стали с пределом прочности 750 МПа. Влияние состояния поверхности детали на сопротивление усталости обусловлено высоким уровнем напряжений от изгиба и кручения в наружных зонах детали и ослаблением поверхностного слоя вследствие его шероховатости и разрушения кристаллических зерен при резании.

По аналогичным формулам определяются пределы выносливости деталей при действии касательных напряжений.

Условия прочности при симметричном цикле переменных напряжений имеют вид:

при действии нормальных напряжений

при действии касательных напряжений

где п σ , п τ - коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям; σ -1д, τ -1д - пределы выносливости детали; σ а, τ а - амплитуды переменных напряжений; [п σ ], [п τ ] - минимально допустимое значение запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

При двухосном напряженном состоянии, возникающем в случае одновременного изгиба и кручения или растяжения-сжатия и кручения, запас прочности в расчетном сечении определяется из выражения

Минимально допустимое значение запаса прочности зависит от точности выбора расчетных нагрузок и полноты учета конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов, влияющих на предел выносливости детали. В расчетах буровых машин и оборудования на выносливость минимально допустимые значения запасов прочности регламентируются отраслевыми нормами, указанными в табл. 2П приложения.При отсутствии отраслевых норм принимают допустимые запасы прочности [п]= 1,3÷1,5.

При действии асимметричных циклов детали рассчитывают на прочность на основе диаграммы предельных напряжений цикла (рис. 4.7), характеризующей зависимость между предельными напряжениями и средними напряжениями цикла для заданной долговечности. Диаграмма строится по экспериментальным значениям пределов выносливости, полученным для различных средних напряжений цикла. Это требует длительных испытаний по специальной программе. В практических расчетах используются более простые схематизированные диаграммы предельных напряжении, которые строят по экспериментальным значениям предела выносливости симметричного и отнулевого циклов и пределу текучести выбранного материала.

На диаграмме предельных напряжений точка А (0, σ -1) соответствует пределу выносливости симметричного цикла, точка В (σ 0 /2; σ 0) - пределу выносливости отнулевого цикла напряжений. Прямая, проходящая через эти точки, определяет максимальные предельные напряжения, циклов в зависимости от среднего напряжения. Напряжения ниже уровня ABC не вызывают разрушения при числе циклов N 0 , соответствующем базе испытаний. Точки, лежащие выше прямой ABC, характеризуют циклы напряжений, при которых разрушение происходит при числе циклов N

Прямая ABC, ограниченная в верхней части пределом текучести σ т, т. е. сопротивлением пластическим деформациям, называется линией предельных напряжений. Она выражается уравнением прямой, проходящей через две точки А и В с координатами (0, σ -1) и (σ 0 /2; σ 0):

Обозначив получим

При действии касательных напряжений формула (25) примет вид

Коэффициенты φ σ и φ τ характеризуют чувствительность материала к асимметрии цикла напряжений соответственно при действии нормальных и касательных напряжений (принимаются из технической литературы). Если на диаграмме провести из начала координат прямую под углом 45° (биссектрису координатного угла), то отрезок ОВ" == ВВ"-ВВ" будет соответствовать среднему напряжению, а отрезок ВВ" - предельной амплитуде цикла

где σ а - предельная амплитуда цикла, т. е. амплитуда напряжения, соответствующая пределу выносливости при заданном среднем напряжении цикла.

При увеличении среднего напряжения цикла σ т предел выносливости σ т ах возрастает, а предельная амплитуда цикла σ а уменьшается. Степень ее уменьшения зависит от чувствительности материала к асимметрии цикла, характеризуемой коэффициентом φ σ .

Таблица 4.6

Вид деформации	Предел прочности σ b , МП а
Изгиб и растяжение (φ σ)
Кручение (φ τ)

Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии, называются подобными и обозначаются на диаграмме предельных напряжений точками, лежащими на одном луче, проведенном под соответствующим углом β. Это видно из формулы

Экспериментально установлено, что отношение предельных амплитуд гладких образцов и образцов с концентрацией напряжений не зависит от среднего напряжения цикла. Согласно этому, коэффициенты концентрации напряжений принимаются одинаковыми для симметричных и асимметричных циклов, а продольная амплитуда напряжений для детали определяется по формуле

Максимальное предельное напряжение асимметричных циклов

Диаграмма предельных напряжений детали, показанная на рис. 4.8, используется для определения запасов прочности. Пусть напряжения (σ max , σ a , σ m ) действуют на деталь в точке М. Если ожидаемые перегрузки соответствуют условию простого нагружения, т е. происходят при постоянной степени асимметрии (R = const), то предельное напряжение для рассматриваемого цикла будет в точке N и запас прочности

В результате совместного решения уравнений линий предельных напряжений АС и ON определяются ордината точки N и запас прочности при действии нормальных напряжений

(29)

Аналогично при действии касательных напряжений

Если при перегрузках среднее напряжение не изменяется (σ m = const), а амплитуда растет, т. е. рабочие напряжения возрастают по прямой М" Р, то запас прочности

Детали буровых машин обычно работают в условиях простого нагружения, и запас прочности следует рассчитывать по формулам (29) и (30). При совместном действии нормальных и касательных напряжений запас прочности определяется по формуле (24).

Расчеты на выносливость при нестационарном нагружении базируются на следующих предположениях. Пусть нагрузки Р 1 , P 2 ,..., P i (или напряжения σ 1 , σ 2 , ….σ i ) действуют соответственно в течение N 1 ….N 3 ....N i циклов нагружения (рис. 9). Отношение фактического числа циклов N i действия некоторого напряжения σ i - к числу циклов N j при котором образец разрушается под действием того же напряжения σ i называют цикловым отношением.

Согласно гипотезе о суммировании усталостных повреждений, действие каждой группы нагрузок не зависит от порядка их чередования и одинаковые цикловые отношения различных по величине перегрузок вызывают одинаковую степень

усталостного повреждения.

В предположении линейного накопления усталостных повреждений

где а - экспериментально устанавливаемый коэффициент, принимаемый (в запас) равным единице.

При принятых обозначениях уравнение кривой выносливости 1 (рис. 9) имеет вид:

где σ R - предел выносливости при базовом числе циклов N 0 .

На основе принятых предположений нестационарное нагружение заменяют некоторым эквивалентным стационарным нагружением, действие которого эквивалентно фактическому нестационарному нагружению. В практике применяются различные варианты приведения нестационарного нагружения к эквивалентным стационарным нагружениям.

Любую из действующих нагрузок P i (чаще P max) или вызываемое ею напряжение σ i (σ max) принимают постоянной, действующей в течение соответствующего уровню нагружения так называемого эквивалентного числа циклов N 3 . Тогда, принимая, например, напряжение равным σ max , на основании формул (32) и (33) получим (а = 1)

(35)

где - коэффициент режима нагрузки.

Из формулы (35) следует, что при эквивалентном числе циклов N э

В другом варианте приведения нестационарное нагружение заменяют режимом с постоянным эквивалентным уровнем нагружения Р э (σ э), который действует в течение заданного срока службы, определяемого суммарным числом циклов ΣN i или числом N 0 , соответствующим точке перегиба кривой выносливости. Согласно этому

откуда выводится формула в следующем удобном для расчетов виде:

(37)

где - коэффициент эквивалентности.

Для расчета коэффициента эквивалентности используются статистические данные о величине нагрузок, возникающих в детали в процессе эксплуатации, и количестве циклов их повторения в продолжение одного блока нагружения, соответствующего бурению одной типовой скважины. Практически значения коэффициентов эквивалентности изменяются в пределах 0,5 ≤ К 0э ≤ 1.

При расчете по касательным напряжениям значение коэффициента эквивалентности К 0э определяются по формуле (36), в которой нормальные напряжения заменяются касательными, вызванными, передаваемыми крутящими моментами.

Запасы прочности при нестационарном нагружении определяются по формулам:

для симметричных циклов переменных напряжений

для асимметричных циклов переменных напряжений

Следует отметить, что величины коэффициентов эквивалентности зависят от проходки на долото, механической скорости бурения и других показателей, определяющих загрузку и оборачиваемость буровых машин и оборудования. При увеличении проходки на долото уменьшается загрузка подъемного механизма. На буровые насосы и ротор аналогично влияет повышение скоростей бурения. Это указывает на необходимость уточнения коэффициентов эквивалентности при существенных изменениях показателей бурения.

Определение исходных данных для расчетов на выносливость элементов трансмиссий . При расчетах на выносливость используется закон линейного накопления повреждений при многократном воздействии на элементы трансмиссий амплитуд разных уровней.

Определение исходных расчетных данных сводится к расчету эквивалентных нагрузок в виде произведения принимаемой в расчет основной нагрузки на коэффициент долговечности.

Эквивалентная нагрузка - это такая нагрузка, действие которой по эффекту накопления повреждений эквивалентно действию реальной нагрузки.

Методики для определения эквивалентных нагрузок элементов трансмиссий, базируются на следующих основных положениях.

1. Эксплуатационная нагруженность трансмиссий определяется средним значением
и коэффициентом вариации v крутящего момента, статистическое распределение амплитуд которого можно считать усеченным нормальным.

2. В качестве средней нагрузки
принимается крутящий момент в силовой цепи к органу, соответствующий реализации устойчивого момента M y двигателей.

3. Допустимой считается динамичность нагрузок для трансмиссии наиболее нагруженного органа, оцениваемая коэффициентом вариации v ≤ 0,6. При значениях v ≥ 0,6 следует принимать меры по его снижению, например, применять демпфирующие устройства и др.

Численные значения коэффициентов вариации v можно определять по расчетным зависимостям, либо по результатам вычислительного эксперимента, либо по данным экспериментальных исследований машин-аналогов.

Здесь - максимальный длительно действующий момент; - максимальная длительно действующая амплитуда крутящего момента;Р дл - максимальная длительно действующая нагрузка на подшипники, определяемая по М дл.

Значения коэффициентов долговечности определяются по зависимостям.

1. Для расчета зубьев колес на выносливость:

контактную

изгибную для деталей с твердостью поверхности НВ > 350

изгибную для деталей с твердостью поверхности НВ < 350

2. Для расчета валов:

на изгибную выносливость

на усталостную прочность при кручении

3. Для расчета долговечности шарико - и роликоподшипников:

Здесь - расчетное число циклов нагружений элементов трансмиссии;п - частота вращения детали, об/мин; Т р - расчетное время работы детали, ч (обычно принимают 5000 ч); N о - базовое число циклов нагружения, принимаемое в соответствии с рекомендациями (см. выше)

Соответствующие коэффициенты эквивалентности, принимаемые в зависимости от v .

При расчетах на выносливость зубьев колес по ГОСТ 21354-87, при определении расчетных напряжений в качестве нагрузки принимают M дл, а при определении: